Wczoraj znalazłem taki wątek:

www.racjonalista.pl/forum.php/p,312/s,878895

Nie wiem, czy Wenancjusz i spółka nadal nad tym siedzą.

Podejrzewam, że tak, bo sugerowane przez nich w wątku rozwiązanie układu równań z ponad 60 niewiadomymi jest zadaniem dość karkołomnym xD

Więc nie mogłem się powstrzymać i postanowiłem napisać, przedstawić pewną ideę jak (z wykorzystaniem odrobiny inteligencji) można by takie rzeczy wyliczyć od ręki dla wszystkich tego typu układów spełniających pewne założenia dotyczące symetrii.

1. Na początek, dla ustalenia uwagi, prostszy przypadek dla sześcianu:

Przepływ prądu spełniający prawo Kirchoffa znajdźmy poprzez superpozycje dwóch przypadków:

a) prąd w całości wlatuje do wierzchołka A i wylatuje z każdego wierzchołka w takiej samej proporcji:

I_a+ = (I - I/8) / 3 = 7I/24 (prąd na jednej z krawędzi od A)

b) prąd wlatuje do każdego wierzchołka w równej proporcji i wylatuje w całości z wierzchołka B:

I_b- = (I - I/8) / 3 = 7I/24 (prąd na jednej z krawędzi do B)

Sumujemy to (w efekcie całość wchodzi do A, wychodzi z B, a na innych wierzchołkach się znosi) i mamy przepływ prądów spełniający pierwsze prawo Kirchhoffa gdzie na rezystorze pomiędzy A i B jest prąd o natężeniu:

I' = I_a+ + I_b- = 7I/12

czyli:

U = I' * R = 7 * I * R / 12

U / I = 7R/12 (efektywny opór całego sześcianu względem sąsiednich wierzchołków)

I = 12U/7R

2. Dla dwunastościanu:

I_v = (I - I/20) / 3 = 19I/60

I' = 2 * I_v = 19I/30

U = I' * R = 19 * I * R / 30

U / I = 19R/30 (efektywny opór jw.)

I = 30U/19R

3. Ogólne rozwiązanie dla wszystkich brył foremnych (konieczność założenia symetrycznego rozmieszczenia wierzchołków):

I' = 2 * (I - I / V) / E

U = I' * R = 2RI * (1 - 1/V) / E

U / I = 2R * (1 - 1/V) / E

I = UE / (2R * (1 - 1/V))

V - liczba wierzchołków w całej bryle
E - liczba krawędzi wychodzących z wierzchołka

.