To są prawdziwe twierdzenia. Przy założeniu, że się nie pomnoży zmiennej przez 0.

>To są prawdziwe twierdzenia. Przy założeniu, że się nie pomnoży zmiennej przez 0.
Widzisz... Na świecie jest wiele takich osób jak Ty i dlatego takie rzeczy się słyszy...

Bez urazy, ale pogłówkuj. Jeżeli nikt nie wpadnie na rozwiązanie, to je zamieszczę.

Ależ znam rozwiązanie. Trik polega właśnie na zakamuflowanym mnożeniu przez 0. Ale poczekam, niech się inni pobawią.

>Trik polega właśnie na zakamuflowanym mnożeniu przez 0.

Nieeeee... Próbuj dalej.

Taaaak...

Rozważmy problem pierwszy: suma dwu rozkładów normalnych nie jest rozkładem normalnym.

Z trzech zaproponowanych zmiennych tylko X i Y mają rozkład normalny (X zgodnie z założeniami a Y także, ale pomińmy dowód)
Rzeczywiście zmienna X + Y nie ma rozkładu normalnego. Użyjmy jednak prostej algebry.
Ponieważ Y = XZ to X+Y=X+XZ=X(1+Z)
Okazuje się więc, że tak naprawdę mamy do czynienia ze złożeniem (iloczynem) zmiennych X i Z+1.
Przyjrzyjmy się teraz naszej nowej zmiennej Z+1 (oznaczmy ją jako V). Ponieważ 1 jest stałą mamy proste dodawanie. W tym momencie P(V=-1+1)=P(V=1+1)=0,5 czyli P(V=0)=P(V=2)=0,5
Tu właśnie mamy owo ukryte mnożenie przez 0.

Pozostałe dwa problemy sprowadzają się do tego samego.

OK, ale tu nie ma żadnego kamuflowanego mnożenia przez 0.

Dla zainteresowanych, którzy utknęli - szkic rozwiązania:

A. Udowodnij, że Y ma rozkład identyczny do X, i że Y jest niezależne od Z (załatwiamy pkt 2).
B. Udowodnij, że X i Y są zależne i oblicz ich kowariancję. (załatwiamy pkt 3)
C. Pokaż, że P(X + Y = 0) = 0.5 (czyli X + Y nie ma rozkładu normalnego, co w połączeniu z A załatwia nam pkt 1)

Żeby zakończyć wątek - rozwiązania
>A. Udowodnij, że Y ma rozkład identyczny do X, i że Y jest niezależne od Z (załatwiamy pkt 2).

Gęstość rozkładu zmiennej X - N(0, 1) - jest symetryczna względem 0, tj. dla każdego rzeczywistego t: f_X(t)=f_X(-t)
wówczas
f_-X(t)=f_X(-t)=f_X(t)

czyli -X ma rozkład identyczny do X.

f_Y|Z(t)=f_X(t)[gdy Z=1]+f_-X(t)[gdy Z=-1]=f_X(t)
czyli f_Y(t)=f_Y|Z(t)=f_X(t), czyli
- X i Y mają rozkład N(0, 1)
- Y jest niezależne od Z

>B. Udowodnij, że X i Y są zależne i oblicz ich kowariancję. (załatwiamy pkt 3)

P(X<=-1 i Y<=-1) = P(X<=-1 i Z=1) = _{{X i Z są niezależne}} P(X<=-1) P(Z=1) = P(X<=-1) * 0.5 = P(X<=-1)P(Y<=0) <> P(X<=-1)P(Y<=-1), czyli X i Y są zależne

Cov(X, Y) = E((X-0)(Y-0)) = E(X²Z) = _{{X i Z są niezależne}} E(X2)E(Z) = 1 * 0 = 0

>C. Pokaż, że P(X + Y = 0) = 0.5 (czyli X + Y nie ma rozkładu normalnego, co w połączeniu z A załatwia nam pkt 1)

P(X + Y = 0) = P(X + ZX = 0) = P(X(1+Z) = 0) = P(X = 0_{{zdarzenie prawie niemożliwe}}) + P(X<>0 i Z=-1)_{{X i Z są niezależne}} = 0 + P(X<>0_{{zdarzenie prawie pewne}}) P(Z=-1) = 1 * 0.5 = 0.5

Dodatkowe uwagi:
X i Y są od siebie zależne,
X i Y są niezależne od Z,
ale para (X, Y) jest zależna od Z.

Tam, gdzie w rozważaniach powoływałem się jedynie na symetryczność rozkładu X, można zastąpić go dowolnym symetrycznym rozkładem, w szczególności rozkładem Z. Jeżeli mamy niezależne zmienne Z₁, Z₂, Z₃, ... o rozkładzie identycznym do Z, to iloczyn Z₁ Z₂ Z₃ ... Z_n jest niezależny od każdej zmiennej Z_k. Co więcej, jest on niezależny od każdej funkcji n-1 lub mniej Z_k.

Przykład - rzucam 10 razy monetą i chcę wiedzieć, czy orzeł wypadł parzystą ilość razy. To, że znam wartość 9 rzutów nie wpływa na przewidywania dotyczące ostatecznego wyniku.

Dodatnia kowariancja zmiennych A i B może być w sposób uproszczony interpretowana jako "im A jest większe, ty większego możemy spodziewać się B", a ujemna jako "im A jest większe, ty mniejszego możemy spodziewać się B". Zmienne zależne, u których nie ma tak jasnej zależności mogą mieć kowariancję równą 0. Wracając do przykładu, policzmy Cov(X, |X|), gdzie zależność między zmiennymi jest liniowa w dwóch przedziałach. W jednym jest ona "dodatnia", w drugim "ujemna", rozkład jest symetryczny wokół 0, więc powinniśmy się spodziewać kowariancji = 0.

Cov(X, |X|) = E(X(|X|-E|X|) = E(X²sgn(X) - XE|X|) = E(X²sgn(X)) - E(XE|X|) = [E(-X²|X<0)*P(X<0)+E(X²|X>0)*P(X>0)] - EX E|X|= 0 - 0 E|X| = 0

Czyli działa!

> Dosyć często można usłyszeć (lub wywnioskować, że rozmówca zakłada) jedno z trzech następujących stwierdzeń:

Ja bym doprecyzował dwa z tych stwierdzeń:
- suma dwóch zmiennych niezależnych o rozkładzie normalnym ma zawsze rozkład normalny
- jeżeli kowariancja dwóch zmiennych o rozkładzie normalnym jest równa 0 to te zmienne są niezależne

Natomiast trzecie...

> - jeżeli zmienna losowa jest zdefiniowana jako funkcja innych zmiennych losowych, to jest od każdej z tych zmiennych zależna

... sprawiło mi kłopot bo zapomniałem definicji niezależności zmienny losowych - plus za przypomnienie.

> - jeżeli kowariancja dwóch zmiennych o rozkładzie normalnym jest równa 0 to te zmienne są niezależne

Właśnie nie... Patrz - X i Y z mojego przykładu.

Y ma rozkład normalny, bo (w skrócie) X ma rozkład symetryczny względem 0, a Z przyjmuje tylko wartości 1 i -1. Czyli X i Y mają rozkład normalny N(0, 1).

Czy są zależne? Tak, bo

P(X<=-1 i Y<=-1) = P(X<=-1 i Z=1) = P(X<=-1) * 0.5 = P(X<=-1)P(Y<=0) <> P(X<=-1)P(Y<=-1)

A jaka jest ich kowariancja?

Cov(X, Y) = E((X-0)(Y-0)) = E(X²Z) = _{{X i Z są niezależne}} E(X²)E(Z) = 1 * 0 = 0

>> - jeżeli kowariancja dwóch zmiennych o rozkładzie normalnym jest równa 0 to te zmienne są niezależne

> Właśnie nie... Patrz - X i Y z mojego przykładu.

No faktycznie, masz rację. Ale to dobrze, bo definicja niezależności wyłapuje patologiczne przypadki, przy których kowariancja zawodzi.

> - jeżeli kowariancja dwóch zmiennych jest równa 0 to te zmienne są niezależne

Odwrotnie: kowariancja niezależnych jest zerowa.

Poza tym niezerowa korelacja nie oznacza, że zdarzenia są powiązane przyczynowo, a zwykle właśnie tak jest to interpretowane.