> Wiadomo z prac Cantora, że [alef0]< 2^[alef0]=continuum
Powiedzmy - tylko co znaczą nawiasy kwadratowe?
Chyba poprawniej byłoby to zapisać tak:
alef₀<2^alef₀=continuum.

> continuum = [alef1]
To nie wynika z prac Cantora, gdyż definiuje on alefy w inny sposób. Taka równość zachodzi przy przyjęciu tzw. hipotezy continuum (której nie sposób dowieść ani zaprzeczyć).

> idąc dalej [alef1]<[alef2]<...<[alefn]<...
Chciałoby się powiedzieć, że każde alef_k jest bezpośrednio mniejsze od alef_k+1=2^alef_k, a nie ma między nimi nic pośredniego, ale to znów nie wynika z Cantora i wymaga przyjęcia uogólnionej hipotezy continuum (kiepsko zdefiniował te swoje mnogości - narobił więcej zamieszania (twierdzenia Goedla) niż porządku).

>W książce "Droga do rzeczywistości" Penrosa napisane jest, że [C]^[C] również jest zbiorem liczb rzeczywistych (bądź zespolonych)
Znów te nawiasy - piszesz o zbiorach czy o mocach?
Jeśli X jest liczbą nieskończoną, to X^X=2^X, czyli więcej niż X.

>To jak to naprawdę jest, czy to wszystko zależy od przyjętej aksjomatyki ???
Zależy od aksjomatyki - przyjmuje się taką najprostszą, z której wynikłe wnioski nie prowadzą (o ile to możliwe) do sprzeczności.
Jak "naprawdę jest" nie da się sprawdzić z braku nieskończonych linijek do pomiaru - teoria mnogości ma porządkować produkty wyobraźni, a niekoniecznie odzwierciedlać jakieś tam fakty.

>> Wiadomo z prac Cantora, że [alef0]< 2^[alef0]=continuum
>Powiedzmy - tylko co znaczą nawiasy kwadratowe?
>Chyba poprawniej byłoby to zapisać tak:
>alef₀<2^alef₀=continuum.

Tyle pisania w html-u, tak się napisało

>To nie wynika z prac Cantora, gdyż definiuje on alefy w inny sposób. Taka równość zachodzi przy przyjęciu tzw. hipotezy continuum (której nie sposób dowieść ani zaprzeczyć).
>> idąc dalej alef1<alef2<...<alef>k jest bezpośrednio mniejsze od alef_k+1=2^alef_k, a nie ma między nimi nic pośredniego

>>W książce "Droga do rzeczywistości" Penrosa napisane jest, że C^C=2^C, również jest zbiorem liczb rzeczywistych (bądź zespolonych)
>Jeśli X jest liczbą nieskończoną, to X^X=2^X, czyli więcej niż X.

Prawda po 10 przeczytaniu fragmentu tej książki, zgadam się! Rozwiało to część moich wątpliwości...

>>To jak to naprawdę jest, czy to wszystko zależy od przyjętej aksjomatyki ???
>Zależy od aksjomatyki - przyjmuje się taką najprostszą, z której wynikłe wnioski nie prowadzą (o ile to możliwe) do sprzeczności.
> Jak "naprawdę jest" nie da się sprawdzić z braku nieskończonych linijek do pomiaru - teoria mnogości ma porządkować produkty wyobraźni, a niekoniecznie odzwierciedlać jakieś tam fakty.

Moim zdaniem jeżeli przyjęlibyśmy te nieskończoności jako dynamicznie rosnące (a nie krańcowe lub statyczne) to logicznym jest, że każdy poprzedzający {alef} (moc zbioru) będzie rosnąć "nieskończenie" wolniej od następnika, to jest taka moja dygresja w tym temacie

>Moim zdaniem jeżeli przyjęlibyśmy te nieskończoności jako dynamicznie rosnące (a nie krańcowe lub statyczne) to logicznym jest, że każdy poprzedzający {alef} (moc zbioru) będzie rosnąć "nieskończenie" wolniej od następnika, to jest taka moja dygresja w tym temacie
>

Ale gdyby nieskończoności byłyby krańcowe, to byłyby liczbami, a nie granicami ciągów i operacje na nich byłyby prostsze.

W skrócie: nie ma co się w to mocniej wgłębiać.