Już dawno się tak dobrze nie bawiłem przy tekście o matematyce. Gratuluję pomysłu!

Zdaje się, że tylko matematyka oparta na założeniu prawdziwości pewnika wyboru jest nam przydatna w praktyce. Czy coś z tego wynika?

Na aksjomacie pewnika wyboru opiera się teoria zbiorów z tego co wiem. Prawie wszystko można do niej sprowadzić.

1. Matematyka bez pewnika wyboru jest taką samą matematyką, jak ta z nim, więc jest przydatna - albo nie - dokładnie w tym samym sensie. Matematycy nie interesują się zresztą przydatnością swojej dyscypliny w sensie jej zastosowań (dla fizyka, inżyniera czy sklepikarza); ich obchodzi to tylko, czy jest ona niesprzeczna logicznie (czego z kolei nie należy mylić ze sprzecznością z zdrowym rozsądkiem i tzw. oczywistością, bo to też matematycy mają generalnie w nosie).
2. Starłem się w tym tekście właśnie wyjaśnić, że teoria mnogości, rzeczywiście leżąca u podstaw całej matematyki, jest równie dobra z tym pewnikiem, jak bez niego, czy też z jego zaprzeczeniem. Po prostu: nie ma jedynie prawdziwej teorii mnogości, tzn. nie ma jedynie prawdziwej matematyki (w sensie zgodności z rzeczywistością fizyczną; ta cecha w ogóle nie ma nic wspólnego z matematyką i jej filozofią)

Nawet jeśli założyć prawdziwość pewnika wyboru, to przedstawiony dowód na istnienie Boga jest błędny. Poczynione jest bowiem nieuprawnione założenie, że "pierwszy" w sensie dobrego uporządkowania element zbioru wszystkich przyczyn możliwych zjawisk jest "pierwszą przyczyną" w sensie filozoficznym (tak, jak rozumiał to pojęcie np. św. Tomasz z Akwinu - jako pierwszą przyczynę będącą pośrednio przyczyną wszystkich zjawisk). Dodatkowo, poczynione jest również nieuprawnione założenia, że każde zjawisko ma przyczynę.

Do p. Jacka: oczywiście, że ten "dowód" jest kompletnie "lewy". Ale przecież to klasyczny żart matematyczny, dla mnie zaś tylko pretekst do powiedzenia paru słów o prawdizwej matematyce, dziś przecież ze szkół kompletnie wyeliminowanej.

Błąd w przytoczonym dowodzie na istnienie Boga polega na tym, że założono, że porządkiem w zbiorze przyczyn jest przyczynowość.
Np.: weźmy zbiór skłądający się z dwóch skończonych wątków przyczynowo-skutkowych, ale niezależnych wobec siebie - czyli takich, że zdarzenie z wątku A jest niezależne od zdarzenia w wątku B. Tego zbioru nie można więc uporządkować ze względu na przyczynowość.

Przyznaję, że prowokacja była dobra, bo miałem okazję przypomnieć sobie teorię mnogości. O "dowodzie" na temat równoważności pewnika wyboru i Boga należy powiedzieć krótko: twierdzenie o dobrym uporządkowaniu jest niekonstruktywne, a z istnienia Wszechmocnego nie da się niczego wywnioskować.
Natomiast matematyk jest tyle, ile da się sformułować niesprzecznych zbiorów aksjomatów.

Odnośnie wypowiedzi Grzegorza Emanowicza pt. "Uzupełnienie wypowiedzi p. Jacka"

W zaproponowanym przez Pana zbiorze będą dwa elementy, które nie mają przyczyny. Nie udowodniono jeszcze, że w 'zbiorze przyczynowości' wszechświata materialnego istnieją jakieś elementy kategorycznie nie posiadające przyczyny.


Odnośnie artykułu.
Matematyka z "pewnikiem wyboru" powstała jako model praw przyrodniczych, więc jak najbardziej posiada swój odpowiednik rzeczywisty.

1 > „Problem zaczyna się wtedy, gdy liczba zbiorów wyjściowych jest nieskończona”. Zastanawiam się czy aby zamiast słowa „liczba” nie powinno być słowo „liczebność” (moc).

2 > „No i młody Cohen udowodnił coś, co matematykami wstrząsnęło. Udowodnił mianowicie, że zarówno pewnik wyboru jak i hipoteza continuum są niezależne od pozostałych aksjomatów matematyki.” Czyli można je uważać za aksjomaty właśnie. To bardzo ważne osiągnięcie, ale chyba to za mało żeby wstrząsnąć matematyką. Wydaje mi się, że wstrząsem było wykazanie podobnej wartości (użyteczności?) czterech różnych wspomnianych matematyk i wniosków z tego wynikających. Tak jakoś mi wyłazi, że nacisk położony został w odrobinę złym miejscu.

3 > Nie jestem matematykiem, ale w mojej łepetynie pojawiło się pytanie - jak zachowują się wersje matematyki po kolei pozbawianej pozostałych aksjomatów? Jeśli dobrze wnioskuję z ledwo pamiętanych szkolnych nauk, to raczej bardzo kulawo. W takim przypadku wyjątkowość pewnika wyboru jak i hipotezy continuum polega na tym, że nie są niezbędne w konstrukcji gmachu matematyki a jedynie bardzo użyteczne. Jednak czasami sprawiają poważne problemy

2)

"Tyle, że jednak przytoczony wyżej dowód równoważności istnienia Boga i pewnika wyboru jest jednak, jak powiedziałem, żartem: wszechmoc Istoty Najwyższej nie może prowadzić do tego, by spowodowała ona — nawet ona! — jednoczesną prawdziwość dwóch zdań sprzecznych w ramach tego samego zestawu aksjomatów. Nawet więc Pan Bóg nie jest w stanie spowodować, by wypowiedź „a i nie-a" była prawdziwa."

Oczywiście, że Bóg mógłby to zrobić jeśli jest wszechmogący to może wszystko, a to że my nie wiemy jak, jest tylko dowodem na to, że my nie jesteśmy wszechmogący i nic więcej. (No chyba, że autor tekstu uważa ,że wszechmoc znaczy mniej niż wszystko nawet to czego nie potrafimy sobie wyobrazić lub udowodnić.)
Matematyka i żadna inna nauka nie jest narzędziem do poznawania Boga lub udowadniania Jego istnienia, dokładnie tak samo jak młotek nie służy do poznania czy udowodnienia istnienia człowieka. Dlatego właśnie nauka jest w tej "materii" neutralna, ani nie udowadnia, ani nie zaprzecza, nie rozumiem czym się tak tu ekscytować?

1)

"załóżmy, że Bóg istnieje. Jeśli tak, to — jak wiadomo — jako istota wszechmocna, może spowodować prawdziwość dowolnej wypowiedzi. W szczególności, może spowodować prawdziwość pewnika wyboru...
Wniosek: istnienie Boga jest dokładnie równoważne pewnikowi wyboru. Dziwne, prawda?"

Czy stwierdzenie, że istnienie Boga jest dokładnie równoważne pewnikowi wyboru oznacza, że jeśli Bóg istnieje to pewnik wyboru jest prawdziwy? Bo jeśli tak to Bóg jak istota wszechmocna może także spowodować nieprawdziwość dowolnej wypowiedzi, a więc może istnieć Bóg a pewnik wyboru być nieprawdziwym.

do:" <a>Krzysztof Nalewajko - krótko o dowodzie" z instenienia Wszechmogącego nie tylko wynika bardzo wiele, ale wręcz wszystko. Zgdonie z klasyczną chłopską definicja wszechmocy ( wszystko, zawsze i wszędzie) istnienie wszechmogącego prowadzi do antynomii az falszu jak wiadomo mozna wydedukować dowolne twierdzenie. Oczywiście można sobie wyobrazić Wszechmoc reformowaną taka co to już nie jest wszechmocna, np. że logiką ograniczona. Ale po co komu taki poł-Bóg?</a>

Bóg nie musi być wcale wszechmocny..

=> dowód że Bóg istnieje
(Pomińmy, że te przyczyny zjawisk nie tworzą zbioru) Istnieje pewna pierwsza przyczyna,  lecz nie wiadomo wedle jakiego porządku, na jednym zbiorze można okreslić wiele relacji dobrego porządku.Nikt nie powiedział, że relacja dobrego porządku  @ jest określona tak:a@b<=>(a jest przyczyną  b) Relacja może być różna.
<= implikacja w drugą stronęTu błąd wyraźny. Bóg może spowodować prawdziwość pewnika wyboru, ale nie musi, żeby wykazać prawdziwość implikacji byśmy musieli wiedzieć że tak musi być, a Boga nikt do uznania pewnika wyboru nie zmusi.
Wyjaśnienie autora-niezrozumiałe, pewnik wyboru jest niezależny, więc czy uznamy, że jest prawdziwy czy fałszywy- nie ma to znaczenia, nie będzie tu sprzeczności