W treści zadania jest: wyznaczyć wszystkie funkcje, spełniające podany warunek.
Niżej mamy:
f(-x) = f(x2 - x) - xf(x), co jest prawdą dla funkcji liniowych, a nie dla wszystkich.
Powinien być chyba jeszcze dowód, że innych funkcji poza f-cjami typu f(x)=a*x nie ma, bądź znaleźć je.

Ja wszystko rozumiem - sam dzisiaj mialem egzamin poprawkowy z matematyki dyskretnej. Ja na prawde rozumiem ze wiekszosc matematykow to ludzie myslacy ktorzy poznaja swiad na zasadzie doswiadczen - ale jaki zwiazek maja funkcje z racjonalizmem?!?!!?!?!

RavKo, ponieważ swój komentarz umieściłeś tu ponad rok temu, prawdopodobnie i tak nie przeczytasz tego, co tu napisałem, ale muszę zauważyć, że niestety nie masz racji-najwyraźniej nie zrozumiałeś rozumowania przedstawionego w rozwiązaniu zadania. Twierdzisz, że na początku rozwiązania autor powołuje się na równość, która już z góry może być prawdziwa tylko dla funkcji liniowych (czyli że zakłada, iż funkcja f musi być liniowa), a to nieprawda-równość:

f(-x)=f(x^2-x)-xf(x)

jest prawdziwa dla wszystkich funkcji spełniających warunek podany na początku zadania (co prawda okazuje się, że rzeczywiście ta zależność może mieć miejsce tylko dla niektórych funkcji liniowych, ale autor to udowadnia-nie zgaduje tego ani nie zakłada na początku. Oto dlaczego autor powołał się na tę równość. Na początku wiemy, że szukane są wszystkie funkcje f:Q->Q spełniające warunek:

f(x^2+y)=xf(x)+f(y) dla każdej pary liczb wymiernych x,y.

Stąd równoważnie f(y)=f(x^2+y)-xf(x)

Wiemy jednak, że ta równość ma zachodzić dla dowolnej pary liczb wymiernych x,y , więc w szczególności również dla y=-x , gdzie x jest liczbą wymierną. Podstawiając w powyższej równości
y=-x dostaliśmy to, co autor:

f(-x)=f(x^2-x)-xf(x)

Jak widać nigdzie nie zakładaliśmy niczego, co nie wynikałoby z treści zadania, a już tym bardziej tego, że f jest funkcją liniową. Z dowodem jest więc wszystko ok-autor pokazał, że funkcja spełniająca początkowe równanie musi być postaci
f(x)=ax dla x wymiernych, gdzie a jest dowolną stałą wymierną (implikacja w jedną stronę) i że każda funkcja tej postaci spełnia to równanie (implikacja w drugą stronę wynika z trywialnego wstawienia funkcji f(x)=ax z wspomnianymi wcześniej warunkami na x i a do obu stron początkowego równania i zauważeniu, że otrzymujemy tożsamość.

Do zapisywania formuł matematycznych przydałby się jakiś edytor latex...