Powyższe paradoksy logiczne omawiamy razem, ponieważ istotą każdego z nich jest cecha zwrotności. Występuje w nich zawsze „obiekt" (zdanie orzekające o prawdzie lub fałszu, klasa, dowód na prawdziwość lub fałszywość twierdzenia, procedura sprawdzająca zatrzymanie się programu), który wchodzi w pewną relację (bycie elementem, orzekanie o prawdziwości, orzekanie o zatrzymaniu się) nie tylko z innymi elementami tego samego typu, ale także z samym sobą. Można powiedzieć, że wymienione paradoksy mają podobną strukturę logiczną, czy też że są względem tej struktury izomorficzne. Ten izomorfizm można łatwiej zilustrować formułując dla orzekania o prawdziwości twierdzeń (a więc dla dowodu Goedla i dla paradoksu kłamcy) antynomię analogiczną do antynomii klas Russella. Brzmi ona: „Czy twierdzenie, orzekające o wszystkich twierdzeniach (pewnego typu) nieorzekających o samych sobie, orzeka o samym sobie, czy nie orzeka o samym sobie". Jak łatwo zauważyć, podobnie jak w antynomii klas, obie odpowiedzi prowadzą do sprzeczności. I podobnie, jak w antynomii klas, jedynym wyjściem wydaje się być jakaś „teoria typów zdaniowych". Innymi słowy, zdanie logiczne mogłoby orzekać tylko o zdaniu „niższego typu", czyli będącym na niższym poziomie hierarchii. Wtedy zaś zarówno paradoks kłamcy, jak i dowód Goedla tracą nie tylko swą ważność, ale i sens. 

Przedstawmy to w jeszcze inny sposób. Implicite, wypowiadając twierdzenia, zakładamy, iż nie odnoszą się one do samych siebie. Można bowiem, chociażby na przykładzie paradoksu kłamcy, łatwo wykazać, że twierdzenia orzekające o samych sobie automatycznie prowadzą do sprzeczności. (O ile bowiem stwierdzenie „niniejszym mówię prawdę" jest tautologią, to stwierdzenie "niniejszym kłamię" jest wewnętrznie sprzeczne). Chcąc jej uniknąć, musimy zatem ograniczyć się do twierdzeń o sobie nieorzekających. Aby to jednak uczynić, musimy wpierw stwierdzić, czy dane twierdzenie odnosi się do samego siebie, czy też nie. Jednym z twierdzeń wymagających takiego sprawdzenia jest twierdzenie orzekające o wszystkich twierdzeniach nieorzekających o samych sobie. Poddanie go wspomnianemu testowi prowadzi jednak automatycznie do antynomii izomorficznej z antynomią klas Russella. Zaistnienie tej sprzeczności jest więc tak czy owak rzeczą nieuniknioną. Podobnie jest z numerycznym odpowiednikiem prawa Goedla. Pytanie izomorficzne do antynomii klas możemy tu sformułować: „Czy program, badający zakończalność wszystkich programów niebadających swojej własnej zakończalności, bada swoją zakończalność, czy też nie bada swojej zakończalności?". Słowo „zakończalność" jest niewątpliwie nieco niezręczne, ale pozwala na w miarę jasne i krótkie sformułowanie pytania. W tym przypadku także program, który stwierdza swą własną zakończalność, zawiera wewnętrzną antynomię, ponieważ orzeczenie (rozstrzygnięcie) o zakończalności stanowi ex definitione o zakończeniu programu. Z drugiej strony, aby stwierdzić własną zakończalność, musi on zbadać, czy się zatrzyma badając zakończalność samego siebie, to zaś może osiągnąć tylko poprzez sprawdzenie, czy stanie on po zbadaniu swojej własnej zakończalności na niższym stopniu hierarchii i tak w nieskończoność, nigdy się więc nie zatrzyma. Aby więc uznać program za sensowny, trzeba ustalić, czy nie bada on własnej zakończalności, to zaś prowadzi do alternatywy wyrażonej powyżej. Tutaj również obie odpowiedzi prowadzą do sprzeczności i tutaj również jedynym wyjściem wydaje się być „teoria typów informatycznych". Na tym przykładzie jednak najwyraźniej widać, że „teoria typów" (jakichkolwiek) jest tylko obejściem, a nie rozwiązaniem sprzeczności, ponieważ w programowaniu numerycznym nic takiego, jak hierarchia procedur „naturalnie" nie istnieje, a procedury rekurencyjne, czyli odwołujące się do samych siebie, są powszechnie używane. Trudno arbitralnie zabronić informatykowi ich stosowania, skoro „istnieją", działają i są niekiedy nawet bardzo przydatne. 

Zresztą teoria typów zarówno w teorii klas, jak i w matematyce jest intuicyjnie sztuczna, nieelegancka i pozbawiona jakiegokolwiek innego uzasadnienia poza ratowaniem wspomnianych systemów od wewnętrznej sprzeczności. Ponieważ jednak, zgodnie z prezentowaną koncepcją, sprzeczność wewnętrzna zarówno całego kryształu pojęć, jak i poszczególnych map pojęciowych, jest nieunikniona, przyjdzie nam z teorii typów zrezygnować. Zależy nam bowiem właśnie na podkreśleniu faktu, iż omawiane paradoksy są pochodnymi struktury sieci pojęciowej. Ich istota polega na cesze zwrotności. Sprzeczność można albo obejść przyjmując jakąś „hierarchię typów", albo też uznać ją za immanentną cechę systemu. To ostatnie stanowi główny cel analizy paradoksu kłamcy, antynomii klas Russella i dowodu Goedla. W szczególności chcemy pokazać, że paradoksy te są natury fundamentalnej (zasadniczej) i że są ściśle analogiczne do sprzeczności leżącej u podstaw nieuprawomocnienia prezentowanego systemu (cecha zwrotności pojęcia).

Napiszmy jeszcze jedną antynomię izomorficzną do antynomii klas: „Czy obiekt, będący <desygnatem> (zakładamy symetryczność relacji desygnacji) wszystkich obiektów niebędących własnymi <desygnatami>, jest swoim własnym <desygnatem>, czy też nie jest swoim własnym <desygnatem>?". Oczywiście znowuż oba człony alternatywy dają sprzeczność. Przyporządkujmy: obiekt = pojęcie, obiekt niebędący swoim własnym desygnatem = pojęcie „zwykłe", obiekt będący swoim własnym desygnatem = pojęcie „zwrotne" (zawierające pojęcie pojęcia). Możemy teraz uciec albo w „teorię typów pojęciowych", albo skonstatować wewnętrzną sprzeczność pojęcia „pojęcie". Jeżeli bowiem „wszystko jest pojęciem", to zdanie „pojęcie jest pojęciem" jest tautologią, a zdanie „pojęcie nie jest pojęciem" jest wewnętrznie sprzeczne. Pierwsze wyjście jest niemożliwe, ponieważ, jak już zaznaczaliśmy, w obrębie sieci pojęciowej wszelkie absolutne hierarchie są nieuprawnione. Inaczej mówiąc, podział pojęć na „pojęcia zwykłe" i „pojęcie zwrotne" jest nie do pogodzenia z zasadą równouprawnienia pojęć w sieci pojęciowej. Natomiast drugie jest tym, o co nam chodzi („pojęcie" jest niewątpliwie także pojęciem). Chodzi nam mianowicie o to, że paradoks kłamcy, antynomia klas Russella i dowód Goedla są pochodną zwrotności pojęcia i jako takie stanowią nieodłączną cechę naszego „świata", czyli wszystkiego, co mamy. Oczywiście sprzeczności rozmaitego typu istnieje w omawianym systemie praktycznie nieskończona ilość. Wyżej wymienione interesują nas jednak specjalnie, a to z dwóch względów. Po pierwsze, mają one ogromne znaczenie dla wykazania niespójności logiki i matematyki, po drugie, są one izomorficzne ze sprzecznością wynikającą z cechy zwrotności pojęcia.

Po przeczytaniu tego tekstu, czytelnicy często wybierają też: Sieć pojęciowa a język Sieć pojęciowa

Comment on this article..   See comments (22)..

Send text to e-mail address..

Print-out version..    PDF    MS Word

Bernard Korzeniewski Biolog - biofizyk, profesor, pracownik naukowy Uniwersytetu Jagielońskiego (Wydział Biochemii, Biofizyki i Biotechnologii). Zajmuje się biologią teoretyczną - m.in. komputerowym modelowaniem oddychania w mitochondriach. Twórca cybernetycznej definicji życia, łączącej paradygmaty biologii, cybernetyki i teorii informacji. Interesuje się także genezą i istotą świadomości oraz samoświadomości. Jest laureatem Nagrody Prezesa Rady Ministrów za habilitację oraz stypendystą Fundacji na Rzecz Nauki Polskiej. Jako "visiting professor" gościł na uniwersytetach w Cambridge, Bordeaux, Kyoto, Halle. Autor książek: "Absolut - odniesienie urojone" (Kraków 1994); "Metabolizm" (Rzeszów 195); "Powstanie i ewolucja życia" (Rzeszów 1996); "Trzy ewolucje: Wszechświata, życia, świadomości" (Kraków 1998); "Od neuronu do (samo)świadomości" (Warszawa 2005), From neurons to self-consciousness: How the brain generates the mind (Prometheus Books, New York, 2011).  Private site  Number of texts in service: 41  Show other texts of this author  Newest author's article: Istota życia i (samo)świadomości – rysy wspólne